ARMFCritère de Kelly
Le critère de Kelly donne la fraction de capital pour laquelle la croissance à long terme est maximale. La formule est établie pour des paris à probabilités connues — or en trading elles ne sont pas connues, elles sont estimées. D'où la conséquence pratique : le Kelly complet ne s'utilise presque jamais, mais la valeur elle-même est utile comme limite haute d'un risque raisonnable.
La formule de Kelly pour le trading
f = (taux de réussite × R/R − (1 − taux de réussite)) ÷ R/R
Le numérateur est cette même espérance mathématique en unités de risque. La division par le rapport la convertit en fraction de capital. Pour un système au taux de réussite de 45 % et au rapport de 1 : 2, on obtient f = (0,45 × 2 − 0,55) ÷ 2 = 0,175, soit 17,5 % du capital par trade.
| Winrate | R/R | Kelly complet | Demi | Quart |
|---|---|---|---|---|
| 40 % | 1 : 2 | 10,0 % | 5,0 % | 2,5 % |
| 45 % | 1 : 2 | 17,5 % | 8,8 % | 4,4 % |
| 50 % | 1 : 2 | 25,0 % | 12,5 % | 6,3 % |
| 35 % | 1 : 3 | 13,3 % | 6,7 % | 3,3 % |
| 60 % | 1 : 1 | 20,0 % | 10,0 % | 5,0 % |
| 33 % | 1 : 2 | 0,0 % | 0,0 % | 0,0 % |
La dernière ligne est parlante : avec un taux de réussite de 33 % et un rapport de 1 : 2, la formule donne zéro — c'est exactement un système à l'équilibre, où la mise optimale est nulle. En dessous du taux d'équilibre, le résultat est négatif, ce qui signifie « il n'y a rien à miser ».
Pourquoi on ne trade pas au Kelly complet
Les chiffres de la première colonne du tableau vont de 10 à 25 % du capital par trade. C'est dix à vingt fois plus que le risque par trade habituel, et il y a trois raisons à cela, chacune suffisante à elle seule.
Kelly exige un taux de réussite exact. Le taux réel est une estimation d'échantillon à quelques points de pourcentage près, et la formule y est sensible : surestimer le taux de 5 points déplace la fraction dans la zone où la croissance devient négative.
la raison principaleMême avec des probabilités justes, la trajectoire traverse des drawdowns de dizaines de pour cent. La formule maximise la croissance, pas le confort : elle ignore qu'on peut abandonner le trading.
limite comportementaleLa formule suppose deux issues : un gain de taille fixe ou la perte de la mise. Les trades réels se ferment partiellement, par trailing, avec du slippage : la distribution est plus large et la fraction optimale plus basse.
le modèle est simplifiéPropriété de la courbe de croissance. La fonction de croissance du capital selon la fraction de risque est asymétrique : à gauche de l'optimum elle baisse en pente douce, à droite brutalement. Une mise deux fois inférieure à Kelly donne environ les trois quarts de la croissance maximale, et une mise deux fois supérieure une croissance négative. C'est pourquoi il est plus sûr de se tromper par défaut.
Comment le critère de Kelly s'utilise sur un compte forex
Non comme moyen de fixer le risque, mais comme repère et comme vérification.
- Comme limite haute
- Si votre risque habituel par trade dépasse le quart de Kelly, il vaut la peine de s'arrêter et de revérifier l'estimation du taux de réussite : la formule dit déjà que la mise est agressive même avec une connaissance parfaite des probabilités.
- Comme indicateur de qualité du système
- Un Kelly négatif ou proche de zéro signifie l'absence d'avantage. C'est la même conclusion que donne l'espérance mathématique, mais formulée en « combien miser » — parfois plus convaincant.
- Comme argument contre l'augmentation de la mise après une série de gains
- Kelly ne dépend que du taux de réussite et du rapport, pas des derniers résultats. Une série de gains n'augmente pas la fraction optimale.
Les valeurs pratiques de risque — 0,5–2 % par trade — représentent en général du cinquième au vingtième du Kelly complet. Une telle fraction ne réduit presque pas la croissance à long terme, mais diminue radicalement les drawdowns et rend le résultat robuste à une erreur d'estimation du taux de réussite.
Ce qui arrive à un compte forex selon la fraction de Kelly
La courbe de croissance est asymétrique, et cela se voit mieux dans un tableau. Le calcul est fait pour un système au taux de réussite de 45 % et au rapport de 1 : 2, dont le Kelly complet vaut 17,5 % du capital.
| Fraction de Kelly | Risque par trade | Rythme de croissance par rapport au maximum | Drawdown d'une série de 8 stops |
|---|---|---|---|
| 10 % | 1,75 % | environ 19 % | −13 % |
| 25 % | 4,38 % | environ 44 % | −30 % |
| 50 % | 8,75 % | environ 75 % | −52 % |
| 100 % | 17,50 % | 100 % | −79 % |
| 200 % | 35,00 % | négatif | −97 % |
Le rythme de croissance est la fraction de la croissance logarithmique maximale que donne le Kelly complet. Le drawdown est calculé pour la série attendue au taux de réussite de 45 %, huit pertes d'affilée, avec recalcul du risque sur l'equity courant.
Regardez la troisième ligne : le demi-Kelly conserve environ les trois quarts du rythme de croissance et le drawdown est nettement plus doux. Et la dernière : doubler la fraction optimale donne une croissance négative — le capital fond, alors même que l'avantage de chaque opération isolée reste positif.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que le critère de Kelly en mots simples ?
C'est une formule qui répond à la question « quelle fraction du capital miser pour qu'il croisse le plus vite possible sur une longue distance ». Elle tient compte à la fois de la probabilité de gain et de son ampleur par rapport à la perte.
Pourquoi recommande-t-on le demi ou le quart de Kelly ?
À cause de la forme de la courbe de croissance : diviser la mise par deux conserve l'essentiel de la croissance à long terme, mais réduit sensiblement les drawdowns et, surtout, protège d'une erreur d'estimation du taux de réussite. Dépasser Kelly, à l'inverse, fait chuter la croissance très vite.
Peut-on appliquer Kelly au forex ?
Avec des réserves. La formule suppose une issue binaire et des probabilités connues, alors que les trades réels donnent une distribution de résultats et un taux de réussite estimé. On utilise donc la valeur comme repère supérieur et non comme valeur de risque de travail.
Que faire si Kelly donne une valeur négative ?
Ne pas trader ce système. Un Kelly négatif est la conséquence directe d'une espérance mathématique négative : la mise optimale dans un tel jeu est nulle, et toute valeur positive accélère la perte du capital.
Comment appliquer Kelly à un compte forex en pratique ?
Comme limite haute : calculer la fraction avec votre taux de réussite et votre rapport et vérifier que le risque de travail ne dépasse pas son quart. Avec un taux de 45 % et un R/R de 1 : 2, le Kelly complet vaut 17,5 %, le quart 4,4 %, et un risque pratique de 1 % se situe très à l'intérieur de la zone sûre.
Pourquoi prend-on 1 % en pratique et non 4 % ?
Parce que le taux de réussite est estimé sur un échantillon et évolue avec le marché. La marge n'est pas là pour la prudence en soi, mais au cas où les paramètres réels s'avéreraient inférieurs de 3 à 5 points de pourcentage aux valeurs mesurées.
Kelly fonctionne-t-il avec des prises partielles ?
La formule suppose deux issues de taille fixe, donc avec des sorties partielles son résultat devient une approximation. On peut l'utiliser comme repère, pas comme valeur exacte.
Quel rapport entre Kelly et la limite de drawdown ?
Aucun : la formule maximise le rythme de croissance et ignore qu'on peut abandonner le trading. Les drawdowns au Kelly complet se comptent en dizaines de pour cent, donc le risque pratique se choisit d'après le drawdown admissible, et Kelly sert de limite haute.
En quoi le demi-Kelly diffère-t-il de la règle des 2 % ?
Par la nature du chiffre. La règle des 2 % est un repère externe, identique pour tous les systèmes. Kelly se déduit de votre taux de réussite et de votre rapport, il montre donc à quelle distance votre risque se trouve de la limite mathématique.
Faut-il recalculer Kelly après chaque trade ?
Non. Il suffit de le revoir avec le reste de la statistique — une fois par mois ou tous les cinquante trades. Réagir aux derniers résultats transforme la formule en source de bruit.
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